WebScheduleDbProvider は Dispose 中に、自身が保持する IDbConnection 実装を閉じてクリーンアップします。このメソッドによって自動的に破棄されるのは、デフォルト接続 によって作成された接続、または Connect メソッド の呼び出しによって作成された接続のみです。
デザイン時に ConnectionID プロパティを使用するか、実行時にアプリケーションで作成した IDbConnection 実装を割り当てるかによってWebScheduleDbProviderのConnectionを初期化している場合、それらのリソースはDisposeを呼び出しても解放されません。アプリケーションのソースコードで new コンストラクターを明示的に呼び出している場合は、接続が不要になったときに Web アプリケーション側で接続を適切に閉じて破棄する必要があります。